最近有个学长跟我说了现在就业形势很差，技术岗在公司纯当牛马，把自己累倒了，现在准备离职。我突然想能不能转世当大学里的猫，每天无忧无虑，还有人赏饭吃，每顿不同口味的饭😭

傅里叶变换处理平稳信号、线性时不变系统。但是当信号出现时变、非平稳特性时，传统傅里叶变换难以处理。分数阶傅里叶变换开辟出时域、频域之间新的分数域，可以在这里分析非平稳信号和线性时变系统。传统傅里叶变换的基函数是正弦函数，而分数傅里叶变换的基函数是chirp函数。chirp是一个典型的非平稳信号。

横坐标为时间、纵坐标为频率。传统傅里叶变换相当于把信号旋转 $\pi/2$，而分数傅里叶变换可以旋转任意角度，是对传统傅里叶变换的一个拓展。

1. 傅里叶变换的定义

普通的傅里叶变换对定义为：

$$ \begin{equation} g(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-jut)dt \label{通常正变换定义} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)\exp(jut)du \label{通常逆变换定义} \end{equation} $$

傅里叶变换\eqref{通常正变换定义}可以写成算子形式：

$$ \mathscr{F}^{\pi/2}[f(t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-jut)dt $$

傅里叶逆变换\eqref{通常逆变换定义}对应于算子：

$$ \mathscr{F}^{-\pi/2}[g(u)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)\exp(jut)du $$

其中，$t$ 表示时域的变量，$u$ 表示变换域的变量，积分核为 $\exp(-jut)$。

2. 傅里叶变换的特征函数形式

1929年 Wiener 提出 Hermit 多项式与傅里叶分析的关系[1]。这里介绍一下什么是 Hermit 多项式。任意函数 $f(t)$ 可以展开为 Hermit 多项式的加权和即：

$$ \begin{equation} f(t)=\sum\limits_0^\infty a_n\exp(-t^2/2)H_n(t) \label{Hermit多项式} \end{equation} $$

之所以可以表示，是因为 Hermit 多项式构成了一组完备的正交基，对于任意的函数必然可以被完备正交基进行表示。由 Hermite 多项式的正交性质可得到其系数 $a_n$，为:

$$ \begin{equation} a_n=\frac{1}{2^nn!\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}H_n(t)\exp(-t^2/2)f(t)dt \label{Hermit a_n} \end{equation} $$

1980年，Namias 从算子的角度给出了分数傅里叶变换的定义[2]，Namias 将分数阶傅里叶变换的特征函数定义为 Hermite-Gaussian 函数，即：

$$ \begin{equation} \mathscr{F}^{\pi/2}[\exp(-t^{2}/2)H_n(t)]=\mathrm{e}^{-jn\frac{\pi}{2}}\exp(-u^2/2)H_n(u) \label{FT特} \end{equation} $$

我们将式\eqref{FT特}的特征值一般化后，推广到分数域则可以得到分数阶傅里叶变换算子为：

$$ \begin{equation} \mathscr{F}^{\alpha}[\exp(-t^{2}/2)H_n(t)]=\mathrm{e}^{-jn\alpha}\exp(-u^2/2)H_n(u) \label{FRFT特} \end{equation} $$

其中，$\mathrm{exp}(-t^{2}/2)H_n(t)$ 是算子 $\mathscr{F}^{\alpha}$ 的特征函数，特征值为 $\mathrm{e}^{-jn\alpha}(\alpha=\frac{p\pi}{2})$。

3. 分数傅里叶变换的积分核表达形式

将式\eqref{Hermit多项式}带入到式\eqref{FRFT特}中得：

$$ \mathscr{F}^{\alpha}[f(t)]=\mathscr{F}^{\alpha}\left[\sum\limits_0^\infty a_n\exp(-t^2/2)H_n(t)\right]=\sum\limits_0^\infty a_n\mathrm{e}^{-jn\alpha}\exp(-u^2/2)H_n(u) $$

将系数 $a_n$ 的值也代入：

$$ \mathscr{F}^{\alpha}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}\sum\limits_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-jn\alpha}}{2^nn!\sqrt{\pi}}H_n(t)H_n(u)\exp(-t^2/2)\exp(-u^2/2)f(t)dt $$

这里化简需要用到一个著名的公式 Mehler 公式[3]：

$$ \begin{equation} \sum\limits_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-jn\alpha}}{2^nn!\sqrt{\pi}}H_n(t)H_n(u)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}}\exp\left[\frac{2tu\mathrm{e}^{-j\alpha}-\mathrm{e}^{-2j\alpha}(t^{2}+u^{2})}{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}\right] \end{equation} $$

由 Mehler 公式得：

$$ \mathscr{F}^{\alpha}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}}\exp\left[\frac{2tu\mathrm{e}^{-j\alpha}-\mathrm{e}^{-2j\alpha}(t^{2}+u^{2})}{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}\right]\exp(-t^2/2)\exp(-u^2/2)f(t)dt $$

至此，我们已经推导出了分数阶傅里叶变换的积分核表达式，但是由于这个积分核相对复杂，我们再进行进一步地简化。

首先我们先对系数进行化简：

$$ \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}}=\sqrt{\frac{2}{2\pi(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}}=\sqrt{\frac{(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})+2-(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}{2\pi(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}+\frac{1+\mathrm{e}^{-2j\alpha}}{2\pi(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}} $$

使用欧拉公式：

$$ \begin{align} \frac{1+e^{-2j\alpha}}{1-e^{-2j\alpha}}&=\frac{1+\cos2\alpha-j\sin2\alpha}{1-\cos2\alpha+j\sin2\alpha}=\frac{2\cos^{2}\alpha-2j\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^{2}\alpha+2j\sin\alpha\cos\alpha}\notag\\[10pt] &=\frac{\cos\alpha(\cos\alpha-2j\sin\alpha)}{\sin\alpha(\sin\alpha-2j\cos\alpha)}=-2j\cot\alpha \end{align} $$

则化简后的系数为：

$$ \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}}=\sqrt{\frac{1-2j\cot\alpha}{2\pi}} $$

接下来我们化简 $ut$ 项。

$$ \begin{align} \exp\left[\frac{2tue^{-j\alpha}}{1-e^{-2j\alpha}}\right]&=\exp\left[2tu\frac{\cos\alpha-j\sin\alpha}{2\sin^2\alpha+2j\sin\alpha\cos\alpha}\right]=\exp\left[tu\frac{\cos\alpha-j\sin\alpha}{\sin\alpha(\sin\alpha+j\cos\alpha)}\right]\notag\\[10pt] &=\exp\left(\frac{tu}{\sin \alpha}\cdot\frac{\cos\alpha-j\sin\alpha}{\cos\alpha+j\sin\alpha}\right)=\exp\left(\frac{-jtu}{\sin\alpha}\right) \end{align} $$

最后我们来化简 $t^2$ 和 $u^2$ 项：

$$ \begin{align} \exp\left(\frac{\mathrm{e}^{-2j\alpha}t^{2}}{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}\right)\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)&=\exp\left(\frac{\mathrm{e}^{-2j\alpha}t^{2}}{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}-\frac{t^2}{2}\right)=\exp\left[\frac{2\mathrm{e}^{-2j\alpha}-(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}{2(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}\cdot t^{2}\right]\notag \\[10pt] =&\exp\left(-\frac12\cdot\frac{1+e^{-2j\alpha}}{1-e^{-2j\alpha}}\right)=\exp\left(\frac{2j\cot\alpha}{2}t^2\right) \end{align} $$

化简的最终结果为：

$$ \mathscr{F}^{\alpha}\left[f(t)\right]=\sqrt{\frac{1-j\cot\alpha}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(\frac{j\cot\alpha}{2}t^{2}+\frac{j\cot\alpha}{2}u^{2}-\frac{jtu}{\sin\alpha})f(t)dt $$

当 $\alpha=\pi/2$ 时，$\cot\alpha=0,\sin\alpha=1$，分数阶傅里叶变换可退化成普通傅里叶变换：

$$ \mathscr{F}^{\pi/2}\left[f(t)\right]=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-jtu)f(t)dt $$

参考文献

[1] Wiener N. Hermitian polynomials and Fourier analysis[J]. Journal of Mathematics and Physics, 1929, 8(1–4): 70–73.

[2] Namias V. The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics[J]. IMA Journal of Applied Mathematics, 1980, 25(3): 241–265.

[3] Weisstein, Eric W. "Mehler's Hermite Polynomial Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/MehlersHermitePolynomialFormula.html

本来今年国庆是没想着回的🥲，因为买票回家特别麻烦，国庆票太难抢了。噩耗传来……听说老妈的手臂摔伤了，急忙找了黄牛帮我买票，很幸运最后买到了票✌️

我的票是需要中转的，平时都是在广州南直接便捷换乘的。不过这次呢需要从广州南站转到广州东站上车，期间中转时间只有一个半小时，当时拿到票的时候我就有点预感，不会到时候赶不上车吗？

到了回家的当天，广州三号线的人太多了，最后没有赶上车。爸妈知道消息后也是挺着急的，定第二天的高铁回家的话，意味着得在广州住一晚，不过节假日订不到酒店啊啊。最后只能是在广州打顺风车回去了。我还是第一次预约顺风车，我用的是滴滴打车，刚预约了一辆车，就有人给我打来了电话，不过不是接单那个司机的电话。我一直在想这是怎么回事呀？我的信息泄露了？当时比较着急接通了电话，希望能够抓住最后一根稻草。我想快点回家😭

电话边传来的是是家乡的口音，悬着的心放了下来。跟司机约好了去指定的地点找他，等我到了就可以发车了。司机人还挺好知道我不是当地人，一直跟我通电话，给我导航，帮我打车。几经周转到指定地点了。

上车后，司机又去接了其他的乘客，通过司机跟别人的通话中，明白了顺风车司机之间都是有沟通的，自己没有办法顺路接的，就转交给即将发车的司机。这样也算是双方收益吧，乘客能够上车，司机也能够多挣点。

司机要接其他的乘客回家，让我在高速收费站附近下车，我联系了老爸把我接回家。当时已经半夜两点半了，风好冷。不过也庆幸回来咯！

梦自惺忪，索性望窗外的风景，月光倾泻如下，亦如佳丽似神明，冲破云霄降人境，使我钟情于这月色如痴如醉，这该死的忧愁，虚幻的美。激起千层海浪，拍打在心铸成的礁石上，引起强烈触动，留下思绪回荡无垠寰宇永存光霁。梦在失眠的夜里暗自发酵，脸在枕头里大雨磅礴。被映起的梦浮现眼前…水面波澜在阳光下闪动。我伸手想要捧住这些波光粼粼，它们却从我指尖溜走，滴水不漏，只留得一只悬停在空中的手。我见到飞鸟掠过澄澈湖面时遗落下倒影，如同情绪在你眼里浮光掠影般流转而过，转瞬即逝。

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拆分有理函数的步骤是：因式分解$\to$求系数。且求系数的方法有待定系数法，而今天我要交给大家的是一个更加快速的方法，留数法！

1. 因式分解

$$ \begin{align} &\frac{1}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}\\ &\frac{1}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c}\\ &\frac{1}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{x+c}\\ &\frac{1}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)^{2}}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}+\frac{C}{\left(x+b\right)^{2}}\\ &\frac{1}{\left(x+a\right)\left(x^{2}+bx+c\right)}=\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^{2}+bx+c}\\ &\frac{1}{\left(x^{2}+ax+b\right)\left(x^{2}+cx+d\right)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+ax+b}+\frac{Cx+D}{x^{2}+cx+d}\\ &\frac{1}{\left(x+a\right)\left(x^{2}+bx+c\right)^{2}}=\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^{2}+bx+c}+\frac{Dx+E}{\left(x^{2}+bx+c\right)^{2}}\\ &\frac{1}{\left(x+a\right)^{2}\left(x^{2}+bx+c\right)^{2}}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{\left(x+a\right)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+bx+c}+\frac{Ex+F}{\left(x^{2}+bx+c\right)^{2}} \end{align} $$

2.留数法

口诀：先化首一型，求谁遮谁

例1：拆分$\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{(x+1)(x+2)}$
先对其因式分解：

$$ f(x)=\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{k_1}{x+1}+\frac{k_2}{x+2} $$

使用留数法求系数 $k_1,k_2$：

$$ \begin{align*} &k_1 = \lim_{x\to-1}(x+1)f(x) = 2\\ &k_2 = \lim_{x\to-2}(x+2)f(x) = -1 \end{align*} $$

则

$$ f(x) =\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2} $$

例2：$\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)}$
先对其因式分解：

$$ f(x)=\frac{x+3}{(x+1)^{2}(x+2)} = \frac{k_1}{(x+1)^2}+\frac{k_2}{x+1}+\frac{k_3}{x+2} $$

使用留数法求系数 $k_1,k_3$：

$$ \begin{align*} &k_1 = \lim_{x\to-1}(x+1)^2f(x) = 2\\ &k_3 = \lim_{x\to-2}(x+2)f(x) = 1 \end{align*} $$

使用特值法求系数 $k_2$：

$$ \begin{align*} \frac{0+3}{(0+1)^{2}(0+2)} = \frac{2}{(0+1)^2}+\frac{k_2}{0+1}+\frac{1}{0+2} \end{align*} $$

得 $k_2 = -1$，则

$$ f(x) =\frac{2}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2} $$

例3：$\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{(x+1)^{3}(x+2)}$
先对其因式分解：

$$ \displaystyle f(x)=\frac{x+3}{(x+1)^{3}(x+2)} =\frac{k_1}{(x+1)^3}+\frac{k_2}{(x+1)^2}+\frac{k_3}{x+1}+\frac{k_4}{x+2} $$

使用留数法求系数 $k_1,k_2,k_3,k_4$：

$$ \begin{align*} & k_1 = \lim_{x\to-1}(x+1)^3f(x) = 2\\ & k_2 = \lim_{x\to-1}\left[(x+1)^3f(x)\right]' = \lim_{x\to-1}\frac{-1}{(x+2)^2}=-1\\ & k_2 = \frac{1}{2!}\lim_{x\to-1}\left[(x+1)^3f(x)\right]'' = \lim_{x\to-1}\frac{1}{(x+2)^3}=1\\ & k_4 = \lim_{x\to-2}(x+2)f(x)=-1 \end{align*} $$

则

$$ f(x) =\frac{2}{(x+1)^3}-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} $$

例4：$\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{(2x+1)(x^2+2x+2)}$
先对其因式分解：

$$ \displaystyle f(x)=\frac{x+3}{(2x+1)(x^2+2x+2)}=\frac{x+3}{2(x+\frac12)(x^2+2x+2)}=\frac{k_1}{x+\frac{1}{2}}+\frac{k_2x+k_3}{x^2+2x+2} $$

使用留数法求系数$k_1$：

$$ \begin{align*} & k_1 = \lim_{x\to-\frac{1}{2}}(x+\frac{1}{2})f(x)=1\\ \end{align*} $$

使用特值法求系数$k_2,k_3$：

令 $x=0$ 得：

$$ \begin{align*} \frac{3}{2}= \frac{1}{0+\frac{1}{2}}+\frac{0+k_3}{0+2} \end{align*} $$

则 $k_3=-1$，令 $x=1$ 得：

$$ \begin{align*} \frac{4}{15}= \frac{1}{1+\frac{1}{2}}+\frac{k_2-1}{1+2+2} \end{align*} $$

则 $k_2=-1$，则

$$ f(x)=\frac{2}{2x+1}-\frac{x+1}{x^2+2x+2} $$

留数法可以提高我们计算的速度，但是遇到高阶的函数不易计算，有时候结合特值法会更加方便！

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华里士公式，不用说“华里士”当然是个外国人的名字，也有人管它叫“点火公式”，不管它叫什么名字，它也只是一个公式而已。这个公式考研是需要记忆的，辅助减少计算量。

1. 华里士公式的定义

$$ I_n = \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\mathrm{~d}x= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3},&\text{n为奇数}\\ \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$

2. 华里士公式的推导证明

2.1 证明第一个的等式

法一：观察图像可知，正弦函数和余弦函数在 $\left[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]$ 积分相等

法二：使用区间再现公式推导

令 $\displaystyle t = \frac{\pi}{2} - x$，得：

$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x = -\int_{\frac\pi2}^{0}\sin^n\left(\frac{\pi}{2} - t\right)\mathrm{~d}t = \int_0^{\frac\pi2}\cos^n t \mathrm{~d}t $$

由此我们证明出$\displaystyle I_n = \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\mathrm{~d}x$.

2.2 证明第二个等式

$$ \begin{align} I_n &= \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x = -\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-1}x\mathrm{~d}\cos x\notag\\ & = -\sin^{n-1}x\cos x|^{\frac{\pi}{2}}_0 +\int_0^{\frac\pi2}\cos x\mathrm{~d}\left(\sin^{n-1}x\right)\notag\\ & = (n-1)\int_0^{\frac\pi2} \cos^2 x\cdot\sin^{n-2}x\mathrm{~d}x\notag\\ & = (n-1)\int_0^{\frac\pi2} (1-\sin^2 x)\cdot\sin^{n-2}x\mathrm{~d}x\notag\\ & = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n \end{align} $$

即

$$ \mathrm{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}} $$

则

$$ I_n = \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\mathrm{~d}x= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3},&\text{n为奇数}\\ \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$

3. 华里士公式的推广

口诀：$n$ 为奇数看图像，$n$ 为偶数看倍数

$$ \int_0^{\pi}\sin^nx\mathrm{~d}x= \begin{cases} 2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3},&\text{n为奇数}\\ 2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$

$$ \int_0^{\pi}\cos^nx\mathrm{~d}x= \begin{cases} 0,&\text{n为奇数}\\ 2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$

$$ \int_0^{2\pi}\sin^nx\mathrm{~d}x=\int_0^{2\pi}\cos^nx\mathrm{~d}x \begin{cases} 0,&\text{n为奇数}\\ 4\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$

4. 来点小例题

题1：求解$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}sin^7 \mathrm{~d}x.$

$$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\sin^7 \mathrm{~d}x = 0 $$

题2：求解$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\sin^8 \mathrm{~d}x.$

$$ \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\sin^8 \mathrm{~d}x = 6\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} $$

题3：求解$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}cos^7 \mathrm{~d}x.$

$$ \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\cos^7 \mathrm{~d}x=2\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1 $$

题4：求解$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\cos^8 \mathrm{~d}x.$

$$ \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\cos^8 \mathrm{~d}x=6\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} $$

看到这里大家应该对于考研信心满满了吧！见到类似的题目直接秒杀！！

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傅里叶变换（Fourier transform）是信号处理中的核心概念之一。它将时间域（如音频）或空间域（如图像）信号转换为频率域，极大地方便了后续的信号处理操作。本文从周期函数的傅里叶级数入手，详细推导了傅里叶级数的复数表示形式，并进一步讨论了非周期函数的傅里叶变换。希望通过这篇文章，能够帮助大家更好地理解傅里叶变换的原理及其应用。

1. 三角函数的正交性

若$f(t),g(t)$ 在区间$[a,b]$ 上有定义，且

$$ \begin{equation} \int_{a}^{b} f(t)g(t) \mathrm{~d}t = 0. \end{equation} $$

则称$f(t),g(t)$ 在区间$[a,b]$上正交。

三角函数集合有：$\{1,\cos t,\sin t,\cos 2t, \sin 2t \dots \}$，在三角函数系中，任意一个三角函数在一个周期内积分为0。依据该性质我们来推到三角函数系中有哪些函数之间有正交性。

证明1. 1和$\cos n\omega_0t$ 正交$(n=1,2,3\dots )$ ：

由于正弦函数或余弦函数在一个周期（这个周期不一定是指最小正周期，也可以是最小正周期的整数倍）的积分为0得：

$$ \int^{\frac {T} {2}}_{-\frac {T} {2}} {1\cdot \cos{n{\omega }_{0}t}}\mathrm{~d}t=0. $$

证明2. 1和 $\sin n\omega_0t$ 正交$(n=1,2,3\dots )$：

由于正弦函数或余弦函数在一个周期（这个周期不一定是指最小正周期，也可以是最小正周期的整数倍）的积分为0得：

$$ \int^{\frac {T} {2}}_{-\frac {T} {2}} {1\cdot \sin {n{\omega }_{0}t}}\mathrm{~d}t=0. $$

证明3. $\cos n \omega_0 t$ 和 $\cos m \omega_0 t$ 正交$(n,m=1,2,3,\dots, n \neq m)$：

$$ \int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos m\omega_0t\cos n\omega_0t\mathrm{~d}t=\frac12\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos{(m+n)\omega_0t}\mathrm{~d}t+\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos{(m-n)\omega_0t}\mathrm{~d}t\right]=0. $$

证明4. $\sin n \omega_0 t$ 和 $\sin m \omega_0 t$ 正交$(n,m=1,2,3,\dots, n \neq m)$：

$$ \int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin m\omega_0t\sin n\omega_0t\mathrm{~d}t=-\frac12\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos\left(m+n\right)\omega_0t\mathrm{~d}t-\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos\left(m-n\right)\omega_0t\mathrm{~d}t\right]=0. $$

证明5. $\cos n \omega_0 t$ 和 $\sin m \omega_0 t$ 正交$(n,m=1,2,3,\dots)$：

$$ \int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin m\omega_0t\cos n\omega_0t\mathrm{~d}t=-\frac12\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin\left(m+n\right)\omega_0t\mathrm{~d}t-\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin\left(m-n\right)\omega_0t\mathrm{~d}t\right]=0. $$

综上所述，三角函数系中这些三角函数之间具有正交性：

$$ \begin{equation} \begin{cases} &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n=1,2,3,\dots).\\[10pt] &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n=1,2,3,\dots).\\[10pt] &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin mt \cdot \cos nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n,m=1,2,3,\dots).\\[10pt] &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mt \cdot \cos nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n,m=1,2,3,\dots, n \neq m).\\[10pt] &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin mt \cdot \sin nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n,m=1,2,3,\dots,n \neq m). \end{cases} \end{equation} $$

2. 周期函数的傅里叶级数展开

周期函数是满足 $f(t) = f(t+T)$ 的函数，其中函数 $T$ 为周期。任意一个周期$T$ 的函数 $f_T(t)$ 都可以展开成为不同频率的余弦函数的线性组合：

$$ \begin{equation} f_T(t) = c_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}c_n\cos (n \omega_0t+\varphi_n) \quad (n=1,2,3,\dots). \label{eq:8} \end{equation} $$

式\eqref{eq:8}称为周期函数的傅里叶级数。其中 $c_0$ 称为直流分量，$\displaystyle\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 为基频率，$\cos (n\omega_0)$ 则是不同频率的余弦函数。$c_n,(n=1,2,3,\dots)$ 为不同频率余弦分量的幅度。$\varphi_n$ 为相位。式\eqref{eq:8}也可以写成正弦形式：

$$ \begin{equation} f_T(t) = c_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}c_n\sin (n \omega_0t+\theta_n) \quad (n=1,2,3,\dots). \end{equation} $$

也可以写成正余弦形式：

$$ \begin{align} f_T(t) &= c_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}c_n\cos (n \omega_0t+\varphi_n) \notag \\ & = c_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}c_n \cos(n\omega_0 t)\cos (\varphi_n) - c_n\sin(n\omega_0 t)\sin (\varphi_n) . \label{eq:10} \end{align} $$

令 $a_0 = c_0, a_n = c_n\cos (\varphi_n) , b_n = -c_n\sin (\varphi_n)$，可将式\eqref{eq:10}化简为：

$$ \begin{equation} f_T(t) = a_0 \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t). \label{eq:11} \end{equation} $$

其中的 $a_0,a_n,b_n$ 可以使用积分求解得到。

对于 $a_0$，我们对\eqref{eq:11}两边在区间 $\displaystyle[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} ]$ 求积分：

$$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}a_0 \mathrm{~d}t + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} a_n\cos(n\omega_0 t)\mathrm{~d}t + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n\sin(n\omega_0 t)\mathrm{~d}t \notag\\ & = Ta_0 + 0 + 0. \end{align} $$

则

$$ \begin{equation} a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{equation} $$

对于 $a_n$，我们对式\eqref{eq:11}两边乘 $\cos (mt)$ 然后在区间 $\displaystyle[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} ]$ 求积分：

$$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\cos(mt) \mathrm{~d}t \! &=\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}a_0 \cos(mt) \mathrm{~d}t \!\!+\!\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0 t)\cos(mt) \mathrm{~d}t \!\!+\!\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n\sin(n\omega_0 t)\cos(mt) \mathrm{~d}t \notag \\ & = 0 + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n\cos^2(n\omega_0 t) \mathrm{~d}t + 0 \notag \\ & = a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1 + \cos (2n\omega_0 t)}{2} \mathrm{~d}t \notag \\ & = \frac{T}{2} a_n. \end{align} $$

则

$$ \begin{equation} a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{equation} $$

对于 $b_n$，我们对式\eqref{eq:11}两边乘 $\sin (mt)$ 然后在区间 $\displaystyle[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}
]$ 求积分：

$$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\sin(mt) \mathrm{~d}t \! &=\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}a_0 \sin(mt) \mathrm{~d}t \!\!+\!\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0 t)\sin(mt) \mathrm{~d}t \!\!+\!\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n\sin(n\omega_0 t)\sin(mt) \mathrm{~d}t \notag \\ & = 0 + 0 +\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n\sin^2(n\omega_0 t) \mathrm{~d}t\notag \\ & = b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1-\cos^2(n\omega_0 t)\, \mathrm{~d}t \notag \\ & = b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1 - \cos (2n\omega_0 t)}{2} \mathrm{~d}t \notag \\ & = \frac{T}{2} b_n. \end{align} $$

则

$$ \begin{equation} b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{equation} $$

综上所述，周期函数的傅立叶级数可以表示为：

$$ \begin{equation} f_T(t) = a_0 \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t). \label{eq:18} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \begin{cases} \displaystyle a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t.\\[10pt] \displaystyle a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos(n\omega_0 t)\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t.\\[10pt] \displaystyle b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin(n\omega_0 t)\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{cases} \end{equation} $$

3. 复数域傅立叶级数

通过欧拉公式我们可以将傅里叶级数转换到复数域。我们知道欧拉公式为：

$$ \begin{equation} {e}^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta } \label{eq:20} \end{equation} $$

由式\eqref{eq:20}我们可以推导出：

$$ \begin{equation} \begin{cases} \cos\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{i\theta}+\mathrm{e}^{-i\theta}}2\\ \\ \sin\theta=\dfrac{-i\left(\mathrm{e}^{i\theta}-\mathrm{e}^{-i\theta}\right)}2& \end{cases} \end{equation} $$

代入到式\eqref{eq:18}中，可得到：

$$ \begin{align} f_T(t)&=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\notag\\ &=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\frac{\mathrm{e}^{in\omega_0t}+\mathrm{e}^{-in\omega_0t}}2+b_n\frac{-i\left(\mathrm{e}^{in\omega_0t}-\mathrm{e}^{-in\omega_0t}\right)}2\notag\\ &=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac12(a_n-ib_n)\mathrm{e}^{in\omega_0t}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac12(a_n+ib_n)\mathrm{e}^{-in\omega_0t} \end{align} $$

第三项用 $-n$ 替换 $n$,可得到：

$$ \begin{equation} f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{2}(a_n - ib_n)\mathrm{e}^{in\omega_0 t}+\sum\limits_{n=-\infty}^{-1} \frac{1}{2}(a_{-n}+ ib_{-n})\mathrm{e}^{in\omega_0 t}. \end{equation} $$

该用新的系数符号可以得到：

$$ \begin{equation} f_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}d_n\mathrm{e}^{in\omega_0 t} \end{equation} $$

其中，

$$ \begin{equation} d_n= \begin{cases} \dfrac{1}{2}(a_{-n}+ib_{-n})&n<0\\[10pt] \dfrac{1}{2}a_0&n=0\\[10pt] \dfrac{1}{2}(a_n-ib_n)&n>0 \end{cases} \label{eq:19} \end{equation} $$

至此，我们导出了傅里叶级数的复指数形式。这种形式下基函数为复指数信号 $\mathrm{e}^{in\omega_0 t}$，系数 $d_n$ 也是一个复数。这种形式的傅里叶级数基函数形式只有一种，并且每个频率分量只有权重参数 $d_n$（因为 $d_n$ 是复数，因此实际上 同时包含了幅度和相位信息，只是形式上统一了）。

接下来我们求解式中不同情况下$d_n$的表达式。

当$n>0$ 时：

$$ \begin{align} d_n|_{n>0}&=\frac12(a_n-ib_n)\notag\\ &=\frac12\left\{\frac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos(n\omega_0t)\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t-i\frac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin(n\omega_0t)\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t\right\}\notag\\ &=\frac12\left\{\frac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\frac{\mathrm{e}^{in\omega_0t}+\mathrm{e}^{-in\omega_0t}}2\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t-\frac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\frac{\mathrm{e}^{in\omega_0t}-\mathrm{e}^{-in\omega_0t}}2\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t\right\}\notag\\ &=\frac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\mathrm{e}^{-in\omega_0t}\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{align} $$

当$n=0$ 时：

$$ \begin{aligned} d_n|_{n=0}= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \label{eq:21} \end{aligned} $$

当$n<0$ 时：

$$ \begin{aligned} d_n|_{n<0}&=\overline{d_{-n}} = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \label{eq:22} \end{aligned} $$

综上所述，无论$n$ 取何值，$d_n$ 都可以表示为：

$$ \begin{equation} d_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{equation} $$

对上面的推导做个总结，那就是：任意一个周期为$T$的实值函数$f_T(t)$都可以展开为以下傅里叶级数：

$$ \begin{equation} f_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}d_n\mathrm{e}^{in\omega_0 t}. \label{eq:30} \end{equation} $$

其中，$\displaystyle\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 称为"基频率"，不同频率分量的权重 $\displaystyle d_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t$ 是一个同时包含了幅度和相位信息的复数。

将$d_n$ 的表达式代入式\eqref{eq:30}，得到周期函数$f_{T}(t)$的复指数形式傅里叶级数展开的完整表达式：

$$ \begin{equation} f_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left\{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t\right\}\mathrm{e}^{in\omega_0 t}. \label{eq:31} \end{equation} $$

4. 傅里叶级数到傅里叶变换

由式\label{eq:31}可以看出表示的是周期性的傅立叶级数，那么非周期性的函数如何用傅立叶级数表示呢？非周期性可以看作是 $T\to \infty$ 的周期函数。当 $T\to \infty$ 时，周期函数 $f_{T}(t)$ 转变成非周期函数 $f(t)$，基频率 $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 趋于无穷小，近似于 $\mathrm{d}\omega$，这意味着离散的频率 $n\omega_0$ 将近似于角频率$\omega$（单位：rad/s）。

我们将 $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 代入上式中，并将求和转变为积分：

$$ \begin{align} f(t)&=\lim\limits_{T \to \infty}f_T(t)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left\{\frac{\omega_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f(t)\mathrm{~d}t\right\}\mathrm{e}^{in\omega_0 t}\notag\\ & =\lim\limits_{\omega_0 \to 0}f_T(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left\{\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-i\omega t }\cdot f(t)\mathrm{~d}t\right\}\mathrm{e}^{i\omega t}\mathrm{~d}\omega \label{eq:32} \end{align} $$

式\eqref{eq:32}中，该部分称为"傅里叶变换"：

$$ \begin{equation} F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-i\omega t }\cdot f(t)\mathrm{~d}t \end{equation} $$

式\eqref{eq:32}中，该部分称为"傅里叶逆变换"：

$$ \begin{equation} f(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\cdot\mathrm{e}^{i\omega t}\mathrm{~d}\omega \end{equation} $$